特征值、谱几何与二次型

反复线性变换可以伸缩一个方向、反转另一个、旋转平面或用剪切混合方向。特征向量指出映射保持到标量倍数的不变方向。存在足够独立特征向量时，相关坐标将映射化为分离的标量作用。实对称矩阵更强：有标准正交特征基、实特征值，并直接解释二次几何。

这些结论不适用于每个矩阵。四分之一周旋转没有实特征向量，二维亏损映射虽有两个计重特征根，却没有足够独立方向。非对称映射可以在所有特征值模小于一时暂时放大范数。本课将谱结论与使其成立的假设一同讲解。

检索检查：解释标准正交坐标及相似变换 P⁻¹AP。复习模块 12和换基。行列式、逆见模块 10。需要处介绍复数，有限维论证不需要微积分。

方形映射 A 的特征向量是满足 Av=λv 的非零 v，λ 为特征值。二者组成特征对。非零不可少：零对任意 λ 都满足式子，不能识别特别方向。非零标量倍数仍是同值特征向量。不变对象通常是直线或更大特征空间，而不是唯一有符号、归一化数组。

实 λ>0 保持射线方向并按 λ 缩放长度，负 λ 反转，λ=0 将该向量压为零，λ=1 固定整个方向。特征值不必描述所有向量缩放，因为其他向量可混合多个方向，或者映射没有完整特征基。向量也必须在同一输入输出空间；矩形映射不能不加其他构造就使用这个同形状特征方程。

改写为 (A−λI)v=0。非零解存在当且仅当 A−λI 奇异，即 det(A−λI)=0。A=[[a,b],[c,d]] 的特征方程为 (a−λ)(d−λ)−bc=λ²−(a+d)λ+(ad−bc)=0。两个复根按重数计，其和为迹 a+d，积为行列式 ad−bc。可用于检查算术，但不能替代验证对应向量。

特征空间 E_λ=N(A−λI) 包含零，是子空间，虽零本身不是特征向量。核基的非零组合给全部特征向量。空间维数为几何重数，特征多项式中根出现次数为代数重数；二者不同，重复根不自动增加独立方向。λI 的重复根拥有全部方向，后面的亏损例却只有一条线。

换基不改变特征值：B=P⁻¹AP 且 Av=λv 时，B(P⁻¹v)=P⁻¹Av=λ(P⁻¹v)。P 可逆，所以变换向量非零；反向换基给逆命题。坐标改变，谱值不变。A+αI 保持特征向量而值加 α；可逆 A 的逆值为 1/λ，可对 Av=λv 应用 A⁻¹ 推得，且可逆排除 λ=0。这些关系可检查平移系统与逆求解。

手算先解特征方程，再解对应齐次系统，最后代回 Av=λv。单位化便于比较，不消除符号歧义。浮点应检查尺度相关残差，如 ‖Av−λv‖ 相对于 ‖A‖‖v‖ 及声明容差。小残差验证给定数组的特征对，不证明特征向量唯一，也不证明临近重复谱可靠解析。

d 维 A 有 d 条独立特征向量时，将其放入可逆 V，对应值同次序放入对角 Λ。列方程 AV=VΛ 给 A=VΛV⁻¹，即对角化。特征基坐标 c=V⁻¹x 下作用为 Λc。列不必正交，只有 V 正交时才能把逆换成转置。反过来该表示的列给完整特征基，所以它是准确充要条件。

不同特征值的向量独立。取最短相关子列表 Σcᵢvᵢ=0，其中每个系数非零，否则可更短。应用 A 再减 λ_last 倍原关系，末项消失，其余系数 cᵢ(λᵢ−λ_last) 因不同而非零，得到更短关系，矛盾。因此 d 个不同值保证在包含它们的域上可对角化；重复值须检查特征空间维数。

复数允许非实根。i²=−1，z=a+bi，按该规则加乘，|z|=√(a²+b²)。实矩阵对复向量仍按同样元素公式作用。四分之一周 R=[[0,−1],[1,0]] 的方程 λ²+1=0，值为 i,−i。对 i，v=(1,−i) 满足 Rv=(i,1)=iv。不存在非零实特征向量配实 λ，因为九十度旋转不保持实直线。

它在复数域可对角化，却没有实特征基，说“可对角化”应标明域。实系数多项式复根成共轭对，特征对取共轭也给特征对。二维实旋转可用实旋转块或两个复标量模式描述；复模一说明幅度保持，不意味着每个实坐标固定。

重复值即使可对角化也有基歧义。I₂ 每个非零向量值一，任何独立基都对角化，任何标准正交基都可用于其对称谱表示。库可以在重复空间内旋转基，所以逐列要求与某首选答案相同不合理，应比较空间或重构。

对角化是换描述，可简化幂与几何，但不自动使坐标变换数值安全。近相关 V 会在坐标中严重扭曲长度；精确亏损没有可逆 V。输出两条几乎平行列，不应仅因“有两列”就当作稳健独立基。

实对称谱定理：A=Aᵀ 有实标准正交特征基，A=QΛQᵀ，Λ 实对角、Q 正交。比任意对角化更强，Q⁻¹=Qᵀ 保持欧几里得长度，特征值可按实数排序。须验证对称。只读数组一个三角的程序，可以分解该三角隐含的对称矩阵，却没有求解原本非对称的完整数组。

不同值特征向量垂直：Au=λu,Av=μv，则 λuᵀv=(Au)ᵀv=uᵀAv=μuᵀv，λ≠μ 迫使积零。重复空间中组合仍是同值特征向量，所以可用格拉姆–施密特构造标准正交基。但这些论证以向量存在为前提，足够实方向的存在还需证明。

有限维证明明确使用一个分析事实：紧单位球面上的连续实函数达到最大值。这里引用标准紧性结论，不在极限、连续性之前证明它。对 q(x)=xᵀAx 取单位最大者 v，值 λ。任意 u⊥v 与实 t，归一化 (v+tu)/√(1+t²‖u‖²) 的二次值不超过 λ。展开抵消得 2t uᵀAv+t²(uᵀAu−λ‖u‖²)≤0 对所有 t。若 uᵀAv 非零，取同号充分小 t，线性项压过二次项，违反不等式。所以对所有 u⊥v，uᵀAv=0。

因此 Av 平行 v，与 v 点乘得 Av=λv。垂直补空间不变：w⊥v 时 vᵀAw=(Av)ᵀw=λvᵀw=0。A 限制在此 d−1 维补空间，在任意标准正交基下仍对称。由维数归纳，从一维实标量映射开始，限制有实标准正交特征基，加 v 得全空间基。这样从明确紧性事实和已证正交基构造，不求导证明谱定理。

一般 A=Σλᵢqᵢqᵢᵀ，每个 qᵢqᵢᵀ 投影到一条方向，再按 λᵢ 缩放。重复值应把整个空间的投影相加，总投影不依赖基，单条有符号向量则依赖。这有助于验证分解，不对任意符号或空间内旋转赋特殊意义。

反方向也成立：若 A=QΛQᵀ 且 Λ 实对角，转置给 Aᵀ=A。因此非对称实矩阵即使值全部实，也不可能有这个正交表示。这是欧几里得自伴映射的结构结果，不是所有特征求解器承诺。

二次型 q(x)=xᵀAx。非对称实 A 只有对称部分 S=(A+Aᵀ)/2 有贡献：反对称 K=(A−Aᵀ)/2 满足 xᵀKx=(xᵀKx)ᵀ=xᵀKᵀx=−xᵀKx，所以零。分类针对 S，不是任意 A 的非对称特征值。以下主讨论 A 对称。

x=Qc 时 q=Σλᵢcᵢ²。正定指每个非零 x 的值严格正，等价于全部 λᵢ>0；半正定指每个 x 非负，等价于全部 λᵢ≥0。负定、半负定反转符号；不定有正负两种值，等价于同时有正负特征值。零值产生平坦方向，排除严格定性。

双向理由：满足符号条件时平方和有要求符号，违反符号的特征向量给反例。半正定下 q(x)=0 恰好只含零特征方向，即 Ax=0；不定时正负可抵消，q=0 却 Ax≠0。解释零二次值必须带定性假设。

d 维正定 q=1 主半轴为 1/√λᵢ，不是 λᵢ。大值强惩罚移动，轴短；A 映射本身按 λᵢ 缩放是另一命题。混淆伸缩与等值半径会反转解释。

平方误差、能量、后续曲率都含二次型。XᵀX 半正定，因为 xᵀXᵀXx=‖Xx‖²≥0；满列秩恰使正定，可在计算特征值之前证明。全正元素未必正定：[[1,2],[2,1]] 的值三与负一。逐元素正与二次正不同。

可选图连接：非负边权的无向图拉普拉斯 L=D−G，G 对称邻接，D 对角为行和。展开 xᵀLx=Σ_{i<j}Gᵢⱼ(xᵢ−xⱼ)²，所以半正定。行和零，常向量值零。零能量要求每条正权边两端相等，即每连通分量内常数；反过来这些向量在核。因此零空间维数等于分量数。谱结论有具体能量证明，不需要从图猜值。

数值分类须说明近零处理，不能把舍入极小负值自动当物理不稳定。精确矩阵、测量不确定和算术误差对微小符号给不同可信度。探索器使用有意分离的预设谱，使分类清楚；后续数值计算讨论微妙情况。

e_{k+1}=Be_k 归纳给 e_k=B^k e₀。可对角化 B=VΛV⁻¹ 时，中间逆相消给 B^k=VΛ^kV⁻¹。每模式系数乘 λᵢ^k，模小于一几何衰减，大于一在被激发时增长，等于一未必衰减，可振荡。负实值交替，复值兼幅度缩放与旋转。

谱半径 ρ 为最大特征值模，包含复值。有限可对角化矩阵 ρ<1 使每个初态趋零；若值模至少一，特征向量给不趋零轨迹。实矩阵的复轨迹不趋零时，实部与虚部至少一个实轨迹不趋零，所以障碍也针对实初态。“每个初态”区别全局渐近衰减与没有激发不稳定模式的单轨迹。

对称 B 的正交坐标还给 ‖B^k e₀‖≤ρ^k‖e₀‖，ρ<1 时每步范数收缩。一般可对角化的界含 V、V⁻¹ 扭曲因子，因此普通坐标下不必单调。非对称混合可先放大再衰减；渐近速率不同于单步欧几里得收缩保证。

亏损需超出简单特征基幂公式。N=[[0,3],[0,0]],N²=0，B=0.5I+N。二项展开在 k≥1 给 B^k=0.5^kI+k0.5^{k−1}N。e₀=(0,1) 首步 (3,0.5) 范数比一大，但两坐标最终衰减。k 延迟几何衰减，不阻止。I+[[0,1],[0,0]] 同理给 (k,1)，谱半径一却无界。等于一是需额外分析的边界。

完整有限维定理是 B^k→0 当且仅当 ρ<1，包括亏损。一般充分证明使用本课不构造的 Jordan 标准形存在定理。一个块的幂是有限个二项系数乘 λ^{k−j}N^j，N 幂零；|λ|<1 时各项为多项式乘衰减几何因子，零值块有限步消失。该乘积相邻项比最终趋 |λ|<1，故趋零。有限块及固定换坐标保收敛，必要性由特征向量障碍。这里说明机制，并明确使用的额外标准形结果。

ρ≤1 不是通用有界保证；单位亏损反证。四分之一周 ρ=1、范数有界，却不趋零。有界、单调收缩、渐近衰减不同。仿射 x_{k+1}=Bx_k+c 要先确立固定点 x*=Bx*+c，再相减得到误差方程；不能未经固定点就把 x_k 本身当齐次误差。为后续优化与迭代算法保留区别。

非零 x、实对称 A 的瑞利商 R_A(x)=(xᵀAx)/(xᵀx)。x=Qc 后为 Σλᵢcᵢ²/Σcᵢ²，即非负权重和一的特征值平均，所以 λ_min≤R≤λ_max。仅 x 完全在相应极值空间时等号。这不靠约束求导证明界及达到。

最大商为单位平方长度最大能量方向，最小相反；重复极值有整个子空间，不是唯一首选向量。非对称实矩阵的商描述对称部分，不能对原矩阵可能复值声称相同排序界。须匹配结构假设。

欧几里得算子范数 ‖A‖₂=max_{‖x‖=1}‖Ax‖。对称时平方输出 Σλᵢ²cᵢ²，故范数 max|λᵢ|，对应向量达到。对称可逆逆值 1/λᵢ，逆范数 1/min|λᵢ|。所以 κ₂=max|λᵢ|/min|λᵢ|。正定全正，成为 λ_max/λ_min。奇异没有有限普通逆条件比。

Ax=b,b≠0，右端变化 δb 给 δx=A⁻¹δb。‖δx‖≤‖A⁻¹‖‖δb‖，‖b‖≤‖A‖‖x‖，合得 ‖δx‖/‖x‖≤κ₂‖δb‖/‖b‖。这是上界，不说每个扰动达到；针对固定可逆 A 的右端，矩阵扰动需另分析。方向与大小一样重要。

非对称时特征模一般不决定欧几里得条件数。[[1,1],[0,1]] 两值一却扭曲长度，条件数大于一。一般分析使用模块 14 的奇异值。谱半径描述重复模式，不自动描述一次求解条件或统计不确定。

后续协方差、对称曲率在满足假设时有主方向解释。本课确定高能、平坦及逆敏感方向，不说最大方差就是最好分类，也不说特征向量是因果特征。数值比较须允许符号、排序、重复空间内旋转，验证特征对、对称输入的正交与重构；解释应在结构核对之后。

幂迭代反复应用 A 并归一化近似主方向。对称 A 若唯一最大模值且初态有该成分，把第 k 次展开除主因子，其余系数乘 (λᵢ/λ_dom)^k 衰减，证明方向至多差符号收敛。负主值可符号交替，最大模并列可不选唯一方向，初态垂直主空间也失败。因此短算法需谱隙与非零初始成分；停止应查特征残差，不只比较有符号数组相近。

采用数组准备的 Python 3.11 与 NumPy 环境，显示输出为运行下载脚本捕获。用容差验证关系与空间，精确例子独立提供数学分类。

实验 A 对称特征对与重构

运行前预测值与单位向量，允许符号变化比较，检查 AQ=QΛ,QᵀQ=I,QΛQᵀ=A，计算两个瑞利商。说明单位矩阵重复谱的旋转基也合法。

下载 lab1_symmetric_eigenpairs.py

"""Check eigenpairs and subspaces rather than demanding one vector sign."""
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=6, suppress=True)
A = np.array([[2., 1.], [1., 2.]])
values, vectors = np.linalg.eigh(A)
hand = np.array([[1., 1.], [-1., 1.]])/np.sqrt(2)
assert np.allclose(values, [1., 3.])
assert np.allclose(A@vectors, vectors*values)
assert np.allclose(vectors.T@vectors, np.eye(2))
assert np.allclose(vectors@np.diag(values)@vectors.T, A)
print("Eigenvalues:", values)
print("Unit eigenvectors in columns:", vectors.tolist())
print("Absolute alignment with hand basis:", np.abs(hand.T@vectors).tolist())
for label, vector in [("difference", np.array([1., -1.])), ("sum", np.array([1., 1.]))]:
    quotient = vector@A@vector/(vector@vector)
    print("Rayleigh quotient:", label, quotient)
    assert quotient == (1 if label == "difference" else 3)
angle = np.pi/5
rotation = np.array([[np.cos(angle), -np.sin(angle)], [np.sin(angle), np.cos(angle)]])
identity = np.eye(2)
assert np.allclose(identity@rotation, rotation)
assert np.allclose(rotation.T@rotation, np.eye(2))
print("Repeated eigenvalue identity admits the rotated orthonormal basis:", True)
print("Positive-definite condition ratio:", values[-1]/values[0])

Eigenvalues: [1. 3.]
Unit eigenvectors in columns: [[-0.7071067811865475, 0.7071067811865475], [0.7071067811865475, 0.7071067811865475]]
Absolute alignment with hand basis: [[0.9999999999999998, 0.0], [0.0, 0.9999999999999998]]
Rayleigh quotient: difference 1.0
Rayleigh quotient: sum 3.0
Repeated eigenvalue identity admits the rotated orthonormal basis: True
Positive-definite condition ratio: 3.0

交付：手算对、数值残差与重构、二次分类、正定条件比。区分符号反转与不同空间。

实验 B 迭代与稳定范围

按结构预测各行为，比较激发与未激发不稳定方向。稳定亏损先推 B^k=0.5^kI+k0.5^{k−1}N，再比较首步放大与最终衰减。解释单位亏损和旋转对 ρ=1 的结论。

下载 lab2_linear_iterations.py

"""Asymptotic decay does not require monotone Euclidean norm decay."""
import numpy as np
cases = [
    ("symmetric stable", np.diag([0.5, -0.8]), np.array([1., 1.])),
    ("unstable excited", np.diag([1.2, 0.5]), np.array([1., 1.])),
    ("unstable but unexcited mode", np.diag([1.2, 0.5]), np.array([0., 1.])),
    ("defective stable transient", np.array([[0.5, 3.], [0., 0.5]]), np.array([0., 1.])),
    ("unit defective growth", np.array([[1., 1.], [0., 1.]]), np.array([0., 1.])),
    ("rotation unit modulus", np.array([[0., -1.], [1., 0.]]), np.array([1., 0.])),
]
for label, B, initial in cases:
    radius = max(abs(np.linalg.eigvals(B)))
    print(label, "spectral radius:", float(radius))
    for step in [0, 1, 2, 5, 10, 20]:
        value = np.linalg.matrix_power(B, step)@initial
        print(" k / vector / norm:", step, [round(float(v), 9) for v in value], format(np.linalg.norm(value), ".6e"))
    if label == "defective stable transient":
        assert np.linalg.norm(B@initial) > np.linalg.norm(initial)
        assert np.linalg.norm(np.linalg.matrix_power(B, 20)@initial) < 0.001
    if label == "unit defective growth":
        assert np.allclose(np.linalg.matrix_power(B, 20)@initial, [20, 1])
print("Global asymptotic decay concerns every initial state, not one unexcited trajectory.")

symmetric stable spectral radius: 0.8
 k / vector / norm: 0 [1.0, 1.0] 1.414214e+00
 k / vector / norm: 1 [0.5, -0.8] 9.433981e-01
 k / vector / norm: 2 [0.25, 0.64] 6.870953e-01
 k / vector / norm: 5 [0.03125, -0.32768] 3.291667e-01
 k / vector / norm: 10 [0.000976562, 0.107374182] 1.073786e-01
 k / vector / norm: 20 [9.54e-07, 0.011529215] 1.152922e-02
unstable excited spectral radius: 1.2
 k / vector / norm: 0 [1.0, 1.0] 1.414214e+00
 k / vector / norm: 1 [1.2, 0.5] 1.300000e+00
 k / vector / norm: 2 [1.44, 0.25] 1.461540e+00
 k / vector / norm: 5 [2.48832, 0.03125] 2.488516e+00
 k / vector / norm: 10 [6.191736422, 0.000976562] 6.191736e+00
 k / vector / norm: 20 [38.337599924, 9.54e-07] 3.833760e+01
unstable but unexcited mode spectral radius: 1.2
 k / vector / norm: 0 [0.0, 1.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 1 [0.0, 0.5] 5.000000e-01
 k / vector / norm: 2 [0.0, 0.25] 2.500000e-01
 k / vector / norm: 5 [0.0, 0.03125] 3.125000e-02
 k / vector / norm: 10 [0.0, 0.000976562] 9.765625e-04
 k / vector / norm: 20 [0.0, 9.54e-07] 9.536743e-07
defective stable transient spectral radius: 0.5
 k / vector / norm: 0 [0.0, 1.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 1 [3.0, 0.5] 3.041381e+00
 k / vector / norm: 2 [3.0, 0.25] 3.010399e+00
 k / vector / norm: 5 [0.9375, 0.03125] 9.380207e-01
 k / vector / norm: 10 [0.05859375, 0.000976562] 5.860189e-02
 k / vector / norm: 20 [0.000114441, 9.54e-07] 1.144449e-04
unit defective growth spectral radius: 1.0
 k / vector / norm: 0 [0.0, 1.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 1 [1.0, 1.0] 1.414214e+00
 k / vector / norm: 2 [2.0, 1.0] 2.236068e+00
 k / vector / norm: 5 [5.0, 1.0] 5.099020e+00
 k / vector / norm: 10 [10.0, 1.0] 1.004988e+01
 k / vector / norm: 20 [20.0, 1.0] 2.002498e+01
rotation unit modulus spectral radius: 1.0
 k / vector / norm: 0 [1.0, 0.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 1 [0.0, 1.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 2 [-1.0, 0.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 5 [0.0, 1.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 10 [-1.0, 0.0] 1.000000e+00
 k / vector / norm: 20 [1.0, 0.0] 1.000000e+00
Global asymptotic decay concerns every initial state, not one unexcited trajectory.

交付：区分全局渐近、单轨迹、有界、单调收缩。有限表展示，公式证明无限时间主张。

实验 C 符号、亏损与求解器假设

反转对称向量符号并比投影；诊断 J 精确一维空间，再看数值近乎平行列。故意把非对称 J 传对称程序，并对原 J 检查。最后验证实旋转的合法复对。

下载 lab3_eigenvector_faults.py

"""Signs and repeated eigenspaces are ambiguous; symmetry is a real contract."""
import numpy as np
A = np.array([[2., 1.], [1., 2.]])
values, vectors = np.linalg.eigh(A)
flipped = vectors.copy()
flipped[:, 0] *= -1
print("Direct vector equality after sign flip:", np.allclose(vectors, flipped))
print("First eigenspace projector equality:", np.allclose(np.outer(vectors[:, 0], vectors[:, 0]), np.outer(flipped[:, 0], flipped[:, 0])))
assert np.allclose(A@flipped, flipped*values)

J = np.array([[1., 1.], [0., 1.]])
j_values, j_vectors = np.linalg.eig(J)
print("Defective eigenvalues:", j_values.tolist())
print("Reported vector-matrix rank at tolerance 1e-12:", np.linalg.matrix_rank(j_vectors, tol=1e-12))
print("Exact eigenspace constraint from (J-I)v=0: v2=0; dimension one")
assert np.linalg.matrix_rank(j_vectors, tol=1e-12) == 1
assert np.array_equal(J-np.eye(2), [[0., 1.], [0., 0.]])
wrong_values, wrong_vectors = np.linalg.eigh(J)
wrong_residual = np.linalg.norm(J@wrong_vectors-wrong_vectors*wrong_values)
print("Misused eigh eigenpair residual on original J:", wrong_residual)
assert wrong_residual > 0.5
print("Symmetry guard:", np.array_equal(J, J.T))
assert not np.array_equal(J, J.T)

rotation = np.array([[0., -1.], [1., 0.]])
r_values, r_vectors = np.linalg.eig(rotation)
print("Rotation eigenvalues:", [str(v) for v in r_values])
assert np.allclose(rotation@r_vectors, r_vectors*r_values)
assert np.allclose(np.abs(r_values), 1)
print("No real eigenbasis for a quarter-turn; complex eigenpairs are valid, not a solver failure.")

Direct vector equality after sign flip: False
First eigenspace projector equality: True
Defective eigenvalues: [1.0, 1.0]
Reported vector-matrix rank at tolerance 1e-12: 1
Exact eigenspace constraint from (J-I)v=0: v2=0; dimension one
Misused eigh eigenpair residual on original J: 1.0
Symmetry guard: False
Rotation eigenvalues: ['1j', '-1j']
No real eigenbasis for a quarter-turn; complex eigenpairs are valid, not a solver failure.

交付：修复数组直比，拒绝 J 完整基，声明对称约定。解释存在输出为何不足以证明求解了预期问题。

1–12 必做，13–14 额外 35 分钟。涉及标量域、对称或初态时应声明假设。

使用作者 Mathematics for Machine Learning 配套网站的特征值、对称分解、二次几何。数值约定见 NumPy 1.26 eig、eigh。本课原创论证标注谱证明紧性输入及一般亏损稳定的标准形输入。

不看笔记验证二维对，有基时证明对角表示，写对称定理及证明输入。分类二次型、画主轴，分别解释稳定和条件假设。

结业任务：A=[[3,1],[1,3]] 在差方向值二、和方向四。单位等值半轴 1/√2 与 1/2，κ₂=2。B=A/5，ρ=4/5，每个误差范数至多乘 4/5。说明每结论使用对称，以及一般非对称替换为何不能无条件套公式。

进入下一课：能判断谱结论何时有依据并验证其表示。模块 14 为矩形、非对称映射讲奇异值、低秩近似、伪逆与中心化 PCA。开放状态见课程概览。