向量空间、基、秩与可辨识性

矩阵方程可以确定输出，却让若干输入坐标彼此可替换。含摄氏、华氏和截距三列的模型就是例子：三列不可能承载三个独立信息方向。不同权重可以对每一条符合温度换算规则的记录给出相同预测；另一种设计可能只在训练记录上相同，在下一条记录上不同。可辨识性要区分这些主张。

本课把模块 10 的主元计算转化为空间、坐标和信息的论证。你将证明封闭性，区分张成与独立，计算四个基本空间，并推导秩–零化度，而不只是记忆维数公式。最后连接精确代数、数值秩策略与参数解释。

检索检查：解释可逆增广行操作和自由变量。需要时复习模块 10及证明结构。数值实验参见 NumPy 准备。这里的空间和标量均为实数；实验明确区分有理数精确运算与浮点判定。

向量空间是带加法与标量乘法的集合 V，满足坐标代数中的熟悉规律：加法结合、交换，存在加法单位元 0，每个向量有加法逆元；标量乘法对向量加法及标量加法分配；连续缩放等于标量乘积的缩放；乘以一不改变向量。两种运算都必须留在 V 内。只有集合还没有定义向量空间，运算与标量域也是定义的一部分。

实坐标空间逐分量满足这些规律。向量不一定是箭头或数组。次数至多二的实多项式在通常加法、缩放下构成向量空间：系数相加、缩放不会出现三次项。零多项式虽没有通常意义的有限次数，仍属于这个空间。固定定义域上的实函数在逐点运算下也构成空间，其中零向量是零函数。函数相等表示在每个定义域点相等，不只是若干采样输入上相等。

V 的子空间 W 使用 V 的相同运算，并且本身为向量空间。一个充要判据是：W 非空，并且对每个 u,v∈W 和每个实数 a,b，au+bv∈W。必要性来自两种运算封闭。充分性中，非空给出一个 u；系数都取零得到 0，取 a=−1 得到负向量，适当选择系数得到加法和缩放。其他代数规律从 V 继承，因为运算没有改变。这个论证说明，空集虽可能空真地满足某种封闭量词，仍不能通过子空间判据。

齐次线性约束的解集往往是子空间，因为线性映射满足 L(au+bv)=aL(u)+bL(v)。所以 L(v)=0 的解集含零且封闭。若干此类约束的交集也封闭：两个成员的组合仍满足每个约束。任意一族子空间的交集也是子空间；并集则未必。横轴上的向量加上纵轴上的向量，可以离开两轴的并集。

齐次子空间与仿射平移的区别影响可行集和模型约束。已知 Av=b 的一个解 p，其他解 v 都满足 A(v−p)=0。反过来，对每个核元素 n，p+n 都解方程。因此解集恰好是 p+N(A)，不是只找到几个解的办法。相容非齐次系统的解集只有在 b=0 时才可能含零；否则不能是子空间。

不要把判据简化为“看起来平直”。射线虽然直，却不对负标量封闭；有界线段不对任意缩放封闭；球面不含零；过零的两条不同直线的并集不对加法封闭。证明必须覆盖每一对向量与每个标量，而反证只需一个反例。非负正交象限对非负组合封闭，却不是实向量子空间；这种不同结构也有用途，但需要自己的假设。

v₁,…,vₖ 的张成是所有实系数组合 a₁v₁+…+aₖvₖ 的集合。它是子空间：零系数给出零，相加和缩放组合只是改变系数。它也是包含这些向量的最小子空间；任何包含它们的子空间都因封闭性包含全部组合。张成说明表示能够表达哪些方向，系数说明如何表达一个具体向量。

若只有全部系数为零的组合才能得到零向量，该列表线性无关；若存在非零系数向量使组合为零，则线性相关。“非零系数向量”指至少一个系数非零，不要求每个系数都非零。选一个非零系数移项，就把对应向量写成其他向量的组合；反过来，这种表达也给出相关关系。因此对非空列表，相关恰好意味着冗余。含零向量的列表相关，重复一个非零向量也相关。

边界情况同样有一致定义。空列表无关，因为没有非平凡系数选择；采用空和为零的约定，其张成为零子空间。单个非零向量无关：av=0 时，可用一个非零坐标推出 a=0，或在 a≠0 时乘以 1/a 导出 v=0 的矛盾。两个非零向量即使不相同，也可能互为任意标量倍数。独立是整体性质；只检验每一对，不能证明三条或更多向量独立。

以这些向量为列组成 A，Ac=0 恰好表示 c 的系数给出相关关系。这把定义直接连到消元：齐次系统的非零解就是相关见证。每列都有主元时没有自由系数变量，列无关；存在自由列时，把它对应自由变量设一、其他自由变量设零，就产生非零关系。计算给出具体见证；只报数值“秩”可能掩盖哪些列冗余。

求张成且独立子列表，可按顺序处理有限生成列表：只有新向量不在已保留向量的张成中时才保留。独立性保持，因为若新关系中新的系数非零，就可把新向量表达为旧向量组合；若其系数为零，则违反旧列表独立性。被拒绝向量已可表示，所以最终列表张成所有生成元，也张成原空间。这个有限贪心论证证明有限生成空间存在基，但不保证唯一偏好的基；顺序与解释目的可以影响选择。

张成讨论精确可表示性，不自动涉及相似、物理意义或预测质量。两列可以精确独立，却尺度不当或近乎冗余；一个相关特征仍可以是有用的具名量，只是没有添加线性方向。去除冗余能澄清参数，却不能仅凭一个样本、一种表示下的相关就宣称该特征对所有未来任务都无用。

基是张成且独立的列表。张成保证每个向量有表达，独立保证表达唯一：两种表达相减得到零组合，系数必须逐项相等。两个条件都不可少。冗余张成列表可以给同一向量多种描述；未张成的独立列表无法描述空间所有向量。所以基坐标取决于空间及选定的有序基。

若 B=(b₁,…,b_d) 为基，用 [v]_B 表示 v=Σcᵢbᵢ 的系数元组。向量与坐标元组通过基映射相关，但不指定 B 就不能互换。在 Rᵈ 的坐标单位基下，元组值恰好与通常坐标一致，容易掩盖区别；换基时元组改变，表示的向量仍相同。重排基会改变坐标次序，缩放一个基向量则需反向缩放对应坐标。

为什么基的长度定义良好？需要有限交换论证。设 b₁,…,b_d 张成 V，u₁,…,u_k 无关。用 b 列表表达 u₁；u₁ 非零，至少一个系数非零。解出相应 b，以 u₁ 替换它，新列表仍以 d 条向量张成。假设已插入前 j−1 条 u。用当前张成列表表达 u_j，至少一个剩余原向量的系数非零；否则 u_j 在前面 u 的张成内，违反独立性。以相同移项替换该原向量，每步使用一个剩余位置，因此不能插入超过 d 条独立向量，k≤d。

对两个基双向应用此界：第一个独立基的长度不超过第二个张成基，反之亦然，所以长度相等。这一共同有限长度就是 V 的维数。零空间维数为零，基为空。d 维空间的子空间维数至多 d，因为子空间内独立的列表在所在空间也独立。d 维空间中 d 条独立向量必张成；否则添加张成之外的向量会得到 d+1 条独立向量，违反上界。

也由此证明基扩张：从有限维空间任意独立列表出发，检查一个已有的有限张成列表，遇到当前张成之外的生成元就加入。过程保持独立，所有生成元处理完即张成。所以子空间的基可扩张成所在空间的基。后面秩–零化度证明要用这个存在论证。在计算中，主元可找到扩张；在定理中，它连接局部约束与整体维数。

对同一 d 维空间两个基 B,C，坐标变换 T 的第 i 列为 [bᵢ]_C，于是 [v]_C=T[v]_B。两种坐标都唯一，T 可逆。映射的矩阵也依赖输入和输出基：若输入、输出新基矩阵相对原坐标分别为 P,Q，则新表示为 Q⁻¹AP。对同一空间上的映射，两侧采用相同换基时成为 P⁻¹AP。这是一个映射的不同描述；没有同步改变坐标约定而单改 A，可能是在改变映射本身。

对 m×n 矩阵 A，列空间 C(A) 是 Rᵐ 内各列的张成，也即像 {Ax:x∈Rⁿ}；行空间 R(A) 是把各行看成 Rⁿ 向量后的张成；零空间 N(A)={x∈Rⁿ:Ax=0} 在输入空间；左零空间 N(Aᵀ)={z∈Rᵐ:Aᵀz=0} 在输出空间。“左”来自 zᵀA=0，不是一种新的第五类矩阵运算。尤其对矩形矩阵，应先写所在维度再计算。

可逆行操作保持行空间，因为新行是旧行组合，逆操作又给出反向包含。它保持零空间，因为保持齐次方程解集。它通常改变作为 Rᵐ 子集的列空间。若 E 是行操作矩阵的可逆乘积，化简矩阵为 EA，其列空间是旧列空间在 E 下的像。维数相同不意味着两个集合相同。所以从化简矩阵确定主元列后，应取原矩阵相同列索引，构造 C(A) 的基。

精确理由如下。阶梯矩阵的主元列独立：从最后主元行向前检查零组合，迫使每个系数为零。每个非主元列都是主元列组合，可在主元行的三角系统中回代解系数，主元以下行全零。因此主元列是化简列空间的基。对关系与独立性应用 E⁻¹，原矩阵同一列索引也构成基。主元数于是等于列空间维数。

非零阶梯行独立：不同首项位置使零组合系数从最早首项开始逐个为零。它们张成阶梯矩阵行空间，而该空间就是原行空间。因此行空间维数也是主元数。这一共同数是秩 r。这里证明了行秩与列秩相等，而不是把它当成未经解释的巧合。也得到 r≤min(m,n)，其中零矩阵秩为零。

每个零向量垂直每条行，因为这些点积就是 Ax 的分量；每个左零向量垂直每列，因为这些点积就是 Aᵀz 的分量。这些结论直接来自点积。若 Ax=b，则任意左零 z 必满足 zᵀb=zᵀAx=0。非零值给出不相容证书。本例 b=(2,3,5) 满足条件，b=(2,3,6) 的证书值为一。

左零条件也充分。以 E 化简 [A|b]，若无解，阶梯形必含系数全零、常数非零的一行。E 中相应行 zᵀ 满足 zᵀA=0,zᵀb≠0。因此若 b 与每个左零向量垂直，就不会有矛盾行，b 属于列空间。这证明 C(A)=N(Aᵀ)⊥；对 Aᵀ 同样论证，得到 R(A)=N(A)⊥。模块 12 将给出正交空间的投影公式；本课已说明它们对相容性的代数作用。

线性映射的零化度是核的维数。秩–零化度定理说，从 n 维输入空间出发的线性映射 A 满足 rank(A)+dimN(A)=n。它把输入自由度分为改变输出的方向与消失的方向。输出维数可能为 m；左零化度是 m−r，不是 n−r。混淆这两种计数会误判矩形系统是否相容或唯一。

不用把“数自由变量”当成未经解释的规则，也可证明。取核基 k₁,…,k_q，用已证有限扩张把它扩成输入基 k₁,…,k_q,u₁,…,u_{n−q}。我们证明 Au₁,…,Au_{n−q} 是像的基。张成方面，把任意输入 x 按扩张基展开，应用 A 后核项消失，Ax 是 Au 的组合。独立方面，若 ΣcᵢAuᵢ=0，则 Σcᵢuᵢ 在核内，所以等于 Σdⱼkⱼ。两式相减得到完整扩张基的零组合，其独立性使所有 cᵢ,dⱼ 为零。因此像基长度为 n−q，即 r+q=n，无需方阵或可逆假设。

消元给出计算版本。齐次系统有 r 个主元变量、n−r 个自由变量；逐次把一个自由坐标设一、其他自由坐标设零，再解主元变量，得到 n−r 条向量。它们的自由坐标位置为不同单位向量，所以独立；任意自由坐标赋值是这些赋值的组合，主元方程唯一确定其余坐标，所以它们张成。由此得到核的完整基，而不是几个碰巧满足 Ax=0 的样本。

完整分类随之得到：目标可解当且仅当在 C(A) 内；可解时所有解是 p+N(A)，唯一当且仅当核为零，即 r=n。Rᵐ 每个目标可达当且仅当 C(A)=Rᵐ，即 r=m。两种性质同时成立，只能是满秩方阵。高矩阵满列秩可对相容目标确定唯一输入，却不让所有目标相容；宽矩阵满行秩可到达每个目标，却至少保留 n−m 个零方向。说“满秩”时应说明哪一维度是限制。

正交关系也将任意输入 x 分为行空间成分与核成分。两空间交集只有零：属于二者的向量既在行空间又垂直该空间，因此与自身点积为零。两维数按秩–零化度之和为 n；把两基合起来得到 n 条独立向量，因此是输入空间基。每个 x 都唯一写为 x=u+k，u∈R(A),k∈N(A)。A 对 u 与 x 给同一输出；限制在行空间上时 A 单射，而这些行空间输入到达整个列空间。映射恰好丢掉核中的信息。

约束求解中，零向量表示找到一个解后仍可作的改变；学习中，表示设计矩阵无法区分的参数变化；压缩或传感中，表示产生相同测量的信号。代数相同，x 的解释不同。若限制输入只来自特殊集合，可辨识性也会改变：两个许可输入有歧义时，其差必须是零向量，但不是每个零位移都会留在许可集合。除非声明其他集合，本课唯一性结论针对不受约束的实输入。

固定设计 X 的线性预测为 Xw。w,w′ 的预测相同，当且仅当 X(w′−w)=0，即差在 N(X) 内。与 w 等价的全部参数构成 w+N(X)。对这里不受约束的线性表示，参数可辨识性指不同权重在指定记录上给出不同预测，等价于 X 满列秩。拟合预测唯一可以与权重不唯一同时发生。算法选择一个代表，并不证明数据辨识了它。

单一分类变量的截距加全部独热列也如此。每条记录恰好有一个 K 类指示值为一，指示列之和等于截距，零方向为 (−1,1,…,1)。删一条指示列形成基准类别表示：截距是基准预测，其余系数是相对基准的差。去掉截距、保留全部指示列，则每个类别有自己的预测系数。两种参数化可表示相同预测函数，系数含义不同。满秩还要求观测覆盖保留类别；缺失类别会增加歧义。

训练预测等价并不总意味着新记录上的函数等价。特征 (1,x,x²) 只在 x=0,1 观测，后两列相同。改变权重 (0,−1,1) 不改变训练预测，却在 x=2 改变 −2+4=2。摄氏–华氏则是在合法换算定义域上的结构特征恒等式，故零方向在该域始终不可见。传感器故障或不同特征生成规则也可能破坏此假设。应说明相关是在样本、声明的输入域，还是所有实特征元组上成立。

精确秩问数学模型中的关系是否严格为零；数值秩问在声明分辨率下哪些方向可区分。[[1,1],[1,1+δ]] 行列式为 δ，只要 δ≠0，精确秩就是二。当 δ=10⁻¹²，它接近 δ=0 的相关情形。小输入或测量扰动可影响微小差异是否实际可分辨。浮点阈值可以有意把它报为一个有效方向，但没有证明精确行列式消失。

固定 NumPy 秩接口使用模块 14 将讲解的奇异值——非负方向强度量，计算大于容差的数量。默认阈值随最大值、矩阵维度和机器精度缩放。自定绝对阈值有自己的单位，整矩阵缩放可改变结论。实验 3 中，同一近相关矩阵在 10⁻¹⁴ 与 10⁻¹⁰ 阈值下数值秩为二与一；全局乘一百万但绝对阈值不变，判定改变；阈值同比缩放则保持本例结论。记录 dtype、特征单位、容差与目的。阈值应反映计算或测量分辨率，而不是默默声称一个精确定理。

删去精确冗余特征或施加约束，可以选唯一表示，但系数含义取决于该选择。最小范数约定和正则化引入额外标准，后续讲解；它们可稳定或选择参数，却不恢复观测未区分的信息。独立性也不证明因果效应、误差界或泛化；这些需要代数之外的统计和建模假设。应明确矩阵决定什么、留下什么自由度、解释针对哪个定义域。

采用 Python 3.11 及数组准备中的 NumPy 环境。第一个实验仅用标准库 Fraction。显示输出来自构建时运行可下载脚本的捕获。实验记录应保留形状、零见证和每个声明容差。

实验 A 精确空间与证书

运行前预测主元索引与四空间维数，追踪每个自由变量如何生成一条零基向量，用乘法验证每条基向量。比较原主元列与化简主元列。说明为何本例左零证书拒绝第二个目标而接受第一个。

下载 lab1_exact_spaces.py

"""Exact rational pivots and four spaces; no floating-point zero decisions."""
from fractions import Fraction

def rref(matrix):
    if not matrix or not matrix[0] or any(len(r) != len(matrix[0]) for r in matrix):
        raise ValueError("Need a nonempty rectangular matrix")
    rows = [[Fraction(v) for v in row] for row in matrix]
    pivots, active = [], 0
    for column in range(len(rows[0])):
        selected = next((i for i in range(active, len(rows)) if rows[i][column]), None)
        if selected is None:
            continue
        rows[active], rows[selected] = rows[selected], rows[active]
        pivot = rows[active][column]
        rows[active] = [v / pivot for v in rows[active]]
        for i in range(len(rows)):
            if i != active:
                factor = rows[i][column]
                rows[i] = [a - factor * b for a, b in zip(rows[i], rows[active])]
        pivots.append(column)
        active += 1
        if active == len(rows):
            break
    return rows, pivots

def null_basis(matrix):
    rows, pivots = rref(matrix)
    free = [j for j in range(len(rows[0])) if j not in pivots]
    basis = []
    for j in free:
        vector = [Fraction(0)] * len(rows[0])
        vector[j] = 1
        for i, p in enumerate(pivots):
            vector[p] = -rows[i][j]
        basis.append(vector)
    return basis

def matvec(matrix, vector):
    return [sum(a * b for a, b in zip(row, vector)) for row in matrix]

if __name__ == "__main__":
    A = [[1, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 2]]
    reduced, pivots = rref(A)
    column_basis = [[row[j] for row in A] for j in pivots]
    row_basis = reduced[:len(pivots)]
    kernel = null_basis(A)
    transpose = [list(col) for col in zip(*A)]
    left_kernel = null_basis(transpose)
    strings = lambda rows: [[str(v) for v in row] for row in rows]
    print("RREF:", strings(reduced))
    print("Original pivot columns:", column_basis)
    print("Row-space basis:", strings(row_basis))
    print("Null / left-null bases:", strings(kernel), strings(left_kernel))
    assert all(matvec(A, v) == [0, 0, 0] for v in kernel)
    assert all(matvec(transpose, v) == [0, 0, 0] for v in left_kernel)
    assert len(pivots) == 2 and len(kernel) == 1
    print("Rank / nullity / left nullity:", len(pivots), len(kernel), len(left_kernel))
    for target in [[2, 3, 5], [2, 3, 6]]:
        certificate = sum(a*b for a, b in zip(left_kernel[0], target))
        print("Target / left-null certificate:", target, str(certificate), "consistent" if certificate == 0 else "inconsistent")
    for matrix in [[[0, 0], [0, 0]], [[1, 0], [0, 1]], [[1, 2], [2, 4]]]:
        _, p = rref(matrix)
        assert len(p) + len(null_basis(matrix)) == len(matrix[0])
    print("Zero, identity, and dependent cases satisfy exact rank-nullity.")

RREF: [['1', '0', '1'], ['0', '1', '1'], ['0', '0', '0']]
Original pivot columns: [[1, 0, 1], [0, 1, 1]]
Row-space basis: [['1', '0', '1'], ['0', '1', '1']]
Null / left-null bases: [['-1', '-1', '1']] [['-1', '-1', '1']]
Rank / nullity / left nullity: 2 1 1
Target / left-null certificate: [2, 3, 5] 0 consistent
Target / left-null certificate: [2, 3, 6] 1 inconsistent
Zero, identity, and dependent cases satisfy exact rank-nullity.

交付：四空间、所在维度、基与维数表，并证明所给基张成全部声称空间。乘法成功只证明成员关系，主元和自由变量论证才证明完整性。

实验 B 相同预测，不同权重

手算两个权重向量，在合法特征域检查未见温度，再比较多项式巧合。找出独热设计零方向，说明去冗余的两种办法。

下载 lab2_equivalent_features.py

"""Prediction equivalence can be structural or restricted to observed records."""
import numpy as np

np.set_printoptions(precision=6, suppress=True)
celsius = np.array([0., 10., 20.])
X = np.column_stack((np.ones(3), celsius, 1.8*celsius + 32))
w = np.array([5., 2., -1.])
n = np.array([-32., -1.8, 1.])
alternative = w + 0.5*n
assert np.allclose(X@n, 0) and np.allclose(X@w, X@alternative)
print("Temperature weights / alternative:", w, alternative)
print("Training predictions:", X@w, X@alternative)
new = np.array([1., 30., 86.])
print("New valid temperature prediction:", new@w, new@alternative)
assert np.allclose(new@w, new@alternative)

categorical = np.column_stack((np.ones(3), np.eye(3)))
categorical_null = np.array([-1., 1., 1., 1.])
assert np.allclose(categorical@categorical_null, 0)
print("Intercept plus all one-hot columns rank:", np.linalg.matrix_rank(categorical), "of", categorical.shape[1])
print("One-hot null direction:", categorical_null)
assert np.linalg.matrix_rank(categorical[:, :3]) == 3

training = np.array([[1., 0., 0.], [1., 1., 1.]])
training_null = np.array([0., -1., 1.])
assert np.allclose(training@training_null, 0)
unseen = np.array([1., 2., 4.])
print("x and x squared: training change / unseen x=2 change:", training@training_null, unseen@training_null)
assert unseen@training_null == 2
print("A structural temperature identity generalises; a training-only polynomial coincidence does not.")

Temperature weights / alternative: [ 5.  2. -1.] [-11.    1.1  -0.5]
Training predictions: [-27. -25. -23.] [-27. -25. -23.]
New valid temperature prediction: -21.0 -21.0
Intercept plus all one-hot columns rank: 3 of 4
One-hot null direction: [-1.  1.  1.  1.]
x and x squared: training change / unseen x=2 change: [0. 0.] 2.0
A structural temperature identity generalises; a training-only polynomial coincidence does not.

交付：区分结构域等价与观测记录等价，给一个破坏训练限定主张的新记录，不从可辨识系数推断因果。

实验 C 精确秩与数值秩

用精确行列式作为数学证书，把数值库输出作为策略依赖测量。比较两个绝对阈值和全局缩放下一个相对阈值。这里奇异值是库诊断量，模块 14 将推导其分解和几何。

下载 lab3_rank_tolerances.py

"""An exact nonzero determinant and two numerical rank policies can coexist."""
from fractions import Fraction
import numpy as np

delta = Fraction("0.000000000001")
exact = [[Fraction(1), Fraction(1)], [Fraction(1), 1+delta]]
determinant = exact[0][0]*exact[1][1] - exact[0][1]*exact[1][0]
assert determinant == delta and determinant != 0
print("Exact determinant:", str(determinant), "exact rank: 2")
A = np.array([[1., 1.], [1., 1.+float(delta)]])
singular_values = np.linalg.svd(A, compute_uv=False)
print("Singular values:", [format(v, ".6e") for v in singular_values])
for tolerance in [1e-14, 1e-10]:
    rank = int(np.linalg.matrix_rank(A, tol=tolerance))
    print("Absolute tolerance / numerical rank:", tolerance, rank)
assert np.linalg.matrix_rank(A, tol=1e-14) == 2
assert np.linalg.matrix_rank(A, tol=1e-10) == 1
scaled = 1e6*A
print("Scaling by one million at absolute tolerance 1e-10:", np.linalg.matrix_rank(scaled, tol=1e-10))
assert np.linalg.matrix_rank(scaled, tol=1e-10) == 2
for label, matrix in [("A", A), ("scaled A", scaled)]:
    s = np.linalg.svd(matrix, compute_uv=False)
    relative_cutoff = 1e-10*s[0]
    print("Relative cutoff policy / rank:", label, int(np.linalg.matrix_rank(matrix, tol=relative_cutoff)))
    assert np.linalg.matrix_rank(matrix, tol=relative_cutoff) == 1
print("The cutoff is a numerical resolution policy, not an exact dependence proof.")

Exact determinant: 1/1000000000000 exact rank: 2
Singular values: ['2.000000e+00', '5.000744e-13']
Absolute tolerance / numerical rank: 1e-14 2
Absolute tolerance / numerical rank: 1e-10 1
Scaling by one million at absolute tolerance 1e-10: 2
Relative cutoff policy / rank: A 1
Relative cutoff policy / rank: scaled A 1
The cutoff is a numerical resolution policy, not an exact dependence proof.

交付：报告精确秩、dtype、尺度、阈值与数值秩。解释什么分辨率假设可以支持舍弃弱方向，不把选定阈值说成精确整数或有理模型已经改变。

练习 1–12 必做，13–14 额外 35 分钟。封闭或独立主张应写明空间与标量域。

使用作者 Mathematics for Machine Learning 配套网站中线性代数章的空间、基、线性映射选段。数值约定参见官方 NumPy 1.26 matrix_rank。本课原创证明和例子可独立学习，阅读用于补充。

不看笔记证明子空间判据，区分生成列表与基，说明维数为何定义良好。把四空间画在正确输入、输出侧，推导两种零化度。给零空间预测见证并限定未来记录主张。

结业任务：A=[[1,2,3],[0,1,1]] 秩二。核为 span{(−1,−1,1)}，因为 x₂=−x₃,x₁=−x₃。每个 b=(b₁,b₂) 可达，全部解为 (b₁−2b₂−t,b₂−t,t)。左零空间为零，列空间为 R²。解释全部目标可达为何不使参数唯一。

进入下一课：能够给完整基、维数、解族与解释边界。模块 12 发展正交投影和最小二乘，包括唯一拟合预测与多个最小化权重为何可以并存。开放状态参见课程概览。