积分、累积与简单微分方程

导数描述局部变化率；积分沿区间累积，具有单位、符号和有限和本身未提供的极限假设。微分方程规定状态随时间变化，数值模拟则是另一个近似：稳定数学解可以因不适合步长被模拟成不稳定轨迹。

检索检查：回忆模块16链积规则、中值控制与泰勒误差，以及模块15完备与连续。实验仅用标准库 Python。密度例介绍积分归一化约定，概率模型与期望将在21–23系统展开。

将闭区间[a,b]、a<b分为a=x₀<x₁<…<x_n=b，各宽Δx_i=x_i−x_{i−1}>0，选片内标记ξ_i。黎曼和为Σf(ξ_i)Δx_i，网格尺度是最大宽度，不仅是样点个数。定积分是网格尺度趋零时全部这些标记和趋向的共同有限极限。某个均匀网格可说明过程，却比只验证一种采样路径更强。

有界函数的下和、上和分别用片内下确界、上确界替代样值，标记和在二者之间。细分提高下和、降低上和；不同分割可通过共同细分比较，任一下和不超过任一上和。完备性给所有下和上确界、所有上和下确界；相同则黎曼可积，共同值为积分。这是极限的等价构造，而非单一计算配方。

闭有界区间连续函数一致连续，即同一输入容差控制整个区间所有点对。若失败，可找距离趋零却输出距至少固定ε的点对。紧致性给第一输入收敛子列，第二输入趋同一极限，连续使输出差趋零，矛盾。开域或无界域的逐点连续未必给同一统一保证。

一致连续证明可积：网格足够小使每片值差<ε，则上和减下和≤εΣΔx_i=ε(b−a)，可任意小，所以两个完备界相同，全部足够细标记和趋同一数。其他函数也可积，如有限跳跃的有界分段连续函数；但有界不一定可积。有理点为一、无理点为零的指示函数每片下界零上界一，全部下和零上和b−a。

积分是带符号累积：正部分加、负部分减，总几何面积要积分|f|。x在[−1,1]有符号积分零，总面积一。定义同端点积分零，反向限改变符号。线性、区间可加、保序先由有限和再取极限得到；m≤f≤M给m(b−a)≤∫f≤M(b−a)，且|∫f|≤∫|f|。输出单位乘输入单位，米每秒对秒积分得到米。

连续f下定义A(x)=∫_a^x f(t)dt。内部x有A(x+h)−A(x)=∫_x^{x+h}f(t)dt。减h f(x)、除h，连续性使附近所有f(t)距f(x)不超过任意ε，商误差≤ε；负h使用反向限同样有效。所以A′(x)=f(x)。积分变量t是受束缚哑变量，区别于移动端点x。

原函数F满足F′=f。A也是原函数，(F−A)′=0，由中值定理差为常数，端点相减给∫_a^b f=F(b)−F(a)。定积分固定两端时是一个数；不定积分记号表示F+C函数族，初始或边界条件才选出常数。

反向使用已证明导数给基本原函数：p≠−1时x^p为x^{p+1}/(p+1)，一般实幂用正x，整数多项式可更宽域；p=−1在不跨零区间用ln|x|。exp原函数exp，cos为sin，sin为−cos，线性组合相加。表格不消除域检查。

不连通域常数可不同：1/x在排零实线的原函数负侧ln|x|+C₋、正侧ln|x|+C₊，导数不约束跨空洞常数差。跨奇点直接F(b)−F(a)不自动是合法正常积分，需要第4节反常极限。

移动两端时B(x)=∫_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=A(v(x))−A(u(x))，假设f连续、u,v可导且范围在域内，B′=f(v)v′−f(u)u′。两端分别贡献且反号。∫_0^{x²}exp(t)dt导数2x exp(x²)，不是只exp(x²)，这是基本定理加链法则，不是无条件约符号。

若f不连续但可积，累积仍可连续，跳跃处导数可能失败；在f连续点局部平均证明仍有效。不能在每个间断点都声称A′等于任意赋的点值。有限个孤立值改变不改变积分，因为可用总宽度任意小的片段包住；累积因此未必用导数记录这些孤立赋值。

换元由链法则与基本定理得到。g在[a,b]连续可导、f在包含g值域区间连续，取F′=f，则[F(g(x))]′=f(g(x))g′(x)，所以∫a^b f(g(x))g′(x)dx=∫{g(a)}^{g(b)}f(u)du。此形式不要求g单调，端点记录方向及沿途抵消；若论证求g逆或删除导数因子，可能需单射分支假设。

exp(x²)单独缺少2x因子，不能用同一简单消去求积分；换元仍可能引入新因子或非初等积分。跨零用u=x²并写dx=du/(2sqrt(u))会丢负x分支，应分开。直接链恒等式有效，逆变量推导另有域要求。

积规则(uv)′=u′v+uv′积分重排给∫uv′=[uv]_a^b−∫u′v，u,v为C¹。一因子微分另一因子积分，选择影响是否简化，边界项不可省。∫_0^1 x exp(x)取u=x、v=exp(x)，边界e、余积分e−1，结果一。反选留下不同余积分，口诀不保证简化；多项式乘指数可重复降低多项式阶数。

∫_1^e ln x取u=ln x、v′=1、v=x，边界[x ln x]=e，余∫1=e−1，结果一，整段正域。反常分部积分要先在截断正常区间使用，再检查边界和余项极限，发散边界表达不是有限答案。

不定结论可求导验证，定结论另检查明确边界，必须在所宣称域验证。不同原函数在连通段可以差常数；若差不恒定或丢域片段就不是同一族。换元导数因子也体现输入坐标缩放，单位可辅助诊断。

正常连续函数积分使用有限闭区间且被积函数没有无界奇点。反常积分通过极限扩展：奇异左端a用lim_{ε↓0}∫{a+ε}^b f，无穷右端用lim{R→∞}∫_a^R f，要求有限极限。内部奇点必须分左右，两边分别收敛，不能抵消两边发散便声称普通反常收敛。

∫_ε^1 1/x=−lnε趋无穷，因此零端积分发散，尽管每个截断有限。∫_ε^1 x^{−1/2}=2(1−sqrtε)趋二，无界函数也可反常可积。p≠1时零端x^{−p}积分(1−ε^{1−p})/(1−p)，有限恰p<1，p=1对数发散；[1,∞)积分(R^{1−p}−1)/(1−p)，有限恰p>1。同一家族两端标准不同。

1/x在[−1,1]左右分别发散，对称截断之和却每次零，定义的是另一个柯西主值零，不是普通反常积分。不同极限不能混为归一化常数。

密度候选需整个支持非负且总积分一。非负未归一q若积分Z有限正，则p=q/Z；Z零或无穷不合法，变号q即便积分一也失败。网格非负样值不证明全域非负；线性实验用c≥0、x≥0结构证明，不由网格代替。

λ>0下q=exp(−λx)、x≥0积分1/λ，所以p=λexp(−λx)，[0,t]质量1−exp(−λt)。先在[0,R]分部求一阶矩，再让R exp(−λR)边界趋零，得均值1/λ。指数正级数给exp(λR)≥(λR)²/2，故R exp(−λR)≤2/(λ²R)→0，完整检查而非直接写无穷处零。

后课细化事件和期望，现在已需区分：区间概率是积分，这类连续模型单点质量零；孤立密度值不影响积分。密度单位为输入单位倒数，换单位改变数值高度却不改变事件概率，要明确支持、尺度和积分测度。

求积是加权有限和近似定积分。等宽h=(b−a)/n、x_i=a+ih，复合梯形为h[f(a)/2+Σ内部f(x_i)+f(b)/2]，积分样点间线性插值；相邻梯形共享内点所以内权一、端权半。精确实算术在线性函数无误差，曲率产生插值误差，求值另有算术误差。

若连续二阶且|f″|≤M₂，截断界(b−a)M₂h²/12。每片线性插值误差≤M₂(t−left)(right−t)/2，可由f减端点线再减端点为零二次项的重复罗尔证明；积分给每片M₂h³/12，累加得到总界。凸函数在弦下，梯形高估；符号依据凸性，幅度依据导数界。

辛普森要求正偶数n，h/3乘端点加奇内点四倍、偶内点二倍，每两片积分二次插值。对三次也精确，因为中点中心的奇部分积分和对称样值都消，偶常数二次部分精确。连续四阶幅度≤M₄时标准余项定理给(b−a)M₄h⁴/180；此处在光滑假设下引用其精确常数，可查NIST求积参考。

未检查折点或奇点不能套四阶结论。已知折点处分段可恢复各片光滑界；反常端点需变换、尾界或专用方法。1/sqrt(x)零端积分收敛，端点公式却要评估无穷值，可积和适合某采样法不同。

n与2n差值若无另一个误差模型只是经验估计，两网格都可错过窄特征。导数界及最大网格可认证未采样变化，两相等和不能。自适应方法按局部估计细分，仍可能漏掉全部样点绕过的峰，应报告容差依据。

各求值绝对误差≤E时，梯形非负权总和b−a，贡献≤(b−a)E；正偶n辛普森也一样。求和权计算还加误差，无限细化最终可能遇平台。近零有符号积分的相对误差可未定义或误导，因大正负抵消，应用绝对容差与明确尺度。求积不能独自证明事件模型、全域非负或ODE稳定。

一阶ODE规定x′(t)=F(t,x(t))，解是在指定时间段可导且满足方程的函数，初值x(t₀)=x₀选轨迹。它不是递推或样值表。存在唯一依赖F条件，本课只显式解选定例，不宣称所有右端初值都有唯一全局解。

x′=−ax的x=C exp(−at)由求导直接验证，零时初值给C=x₀。唯一无需除x：exp(at)x的导数exp(at)[ax+x′]=0，所以区间上常数，包含x≡0平衡解。a>0幅度衰减且非负初值保持非负，a=0恒定、a<0非零初值增长。

分离x′/x=−a仅在x≠0合法，积分ln|x|=−at+C，须从原方程补零解。一般x′=g(x)r(t)除g也会删其根对应平衡，需直接检查，并写分支与域再反解隐式原函数。

欧拉以步初导数做切线预测，光滑解泰勒给单步局部差O(h²)，适当Lipschitz稳定条件下固定时间全局差O(h)。本线性例可直接证明：固定T、h=T/n时终点x₀(1−aT/n)^n→x₀exp(−aT)。这与固定可能不适合的h、让k→∞不同。

a>0、h>0时因子q=1−ah反复趋零当且仅当|q|<1，即0<ah<2。ah=2非零初值无衰减交替，大于二幅度增长，ah=0恒定。稳定连续方程可以被大步长模拟得不稳定，区域属于方法和步长。

非负性另查：非负初值下0≤ah≤1保持非负，1<ah<2却衰减交替，可能违反浓度约束。ah=1首步直接零，对有限时间仍可能很不准。稳定、可接受状态、准确三者分别检验。

模拟应报告方程、参数、初值、时间段和步长规则。步长改变终止时间时，各样本要对照自己的真实时间；检验细化则固定终时增加步数。实验3做二者，区分长时稳定和有限时刻误差。后面的梯度流是连续方程，梯度更新是步长相关离散法；模块19将以特征模态推广此标量因子并写假设。

实验1 · 求积速率与解析界

下载 lab1_quadrature.py

"""Composite quadrature on smooth functions with analytic integrals."""
import math

def trapezoid(f, a, b, n):
    if not isinstance(n, int) or n <= 0:
        raise ValueError("n must be a positive integer")
    h = (b-a)/n
    return h*(0.5*(f(a)+f(b))+sum(f(a+i*h) for i in range(1, n)))

def simpson(f, a, b, n):
    if not isinstance(n, int) or n <= 0 or n % 2:
        raise ValueError("n must be a positive even integer")
    h = (b-a)/n
    return h/3*(f(a)+f(b)+sum((4 if i % 2 else 2)*f(a+i*h) for i in range(1, n)))

print("x^4 on [0,1]: exact integral 0.2")
print("n      trapezoid error      Simpson error      trap bound h^2      Simpson bound")
previous = None
for n in [10, 20, 40, 80]:
    h = 1/n
    trap_error = abs(trapezoid(lambda x: x**4, 0, 1, n)-0.2)
    simp_error = abs(simpson(lambda x: x**4, 0, 1, n)-0.2)
    trap_bound, simp_bound = h*h, 24*h**4/180
    print(f"{n:3d} {trap_error:20.10e} {simp_error:18.10e} {trap_bound:18.10e} {simp_bound:18.10e}")
    assert trap_error <= trap_bound+1e-14 and simp_error <= simp_bound+1e-14
    if previous:
        assert trap_error < previous[0] and simp_error < previous[1]
    previous = trap_error, simp_error
print("sin on [0,pi], n=100 Simpson:", simpson(math.sin, 0, math.pi, 100))
assert abs(simpson(math.sin, 0, math.pi, 100)-2) < 2e-8
try:
    simpson(math.sin, 0, math.pi, 9)
except ValueError as error:
    print("Rejected invalid mesh:", error)

x^4 on [0,1]: exact integral 0.2
n      trapezoid error      Simpson error      trap bound h^2      Simpson bound
 10     3.3300000000e-03   1.3333333333e-05   1.0000000000e-02   1.3333333333e-05
 20     8.3312500000e-04   8.3333333334e-07   2.5000000000e-03   8.3333333333e-07
 40     2.0832031250e-04   5.2083333396e-08   6.2500000000e-04   5.2083333333e-08
 80     5.2082519531e-05   3.2552083806e-09   1.5625000000e-04   3.2552083333e-09
sin on [0,pi], n=100 Simpson: 2.0000000108245044
Rejected invalid mesh: n must be a positive even integer

先推导x⁴的两个导数界，比较细化比率及最后算术裕量，解释拒绝奇n。正弦提供第二光滑例，不能用多项式实验声称全部函数结果。

实验2 · 归一化、高度与反常极限

下载 lab2_density_and_improper.py

"""Normalisation is an integral condition, distinct from density height."""
import math

def trapezoid(f, a, b, n):
    h = (b-a)/n
    return h*(0.5*(f(a)+f(b))+sum(f(a+i*h) for i in range(1, n)))

for coefficient in [-2.0, 2.0, 3.0]:
    mass = trapezoid(lambda x: coefficient*x, 0, 1, 1000)
    # For this known linear family, c>=0 establishes nonnegativity on [0,1].
    valid = coefficient >= 0 and abs(mass-1) < 1e-12
    print("c / integrated mass / normalised nonnegative candidate:", coefficient, mass, valid)
    assert valid == (coefficient == 2)

mean = trapezoid(lambda x: x*2*x, 0, 1, 1000)
interval_mass = trapezoid(lambda x: 2*x, 0.25, 0.75, 1000)
print("p(1)=2 is a height, not a point probability:", 2.0)
print("Integral x*p(x) / exact weighted mean:", mean, 2/3)
print("Mass on [0.25,0.75] / exact:", interval_mass, 0.5)
assert abs(mean-2/3) < 4e-7 and abs(interval_mass-0.5) < 1e-12

print("epsilon    integral 1/x from epsilon to 1    integral 1/sqrt(x)")
for epsilon in [1e-1, 1e-2, 1e-4, 1e-8]:
    divergent = -math.log(epsilon)
    convergent = 2*(1-math.sqrt(epsilon))
    print(f"{epsilon:.0e} {divergent:32.10f} {convergent:24.10f}")
print("Each cutoff integral is finite; only the limit decides improper convergence.")

c / integrated mass / normalised nonnegative candidate: -2.0 -1.0 False
c / integrated mass / normalised nonnegative candidate: 2.0 1.0 True
c / integrated mass / normalised nonnegative candidate: 3.0 1.5000000000000002 False
p(1)=2 is a height, not a point probability: 2.0
Integral x*p(x) / exact weighted mean: 0.6666669999999999 0.6666666666666666
Mass on [0.25,0.75] / exact: 0.5000000000000001 0.5
epsilon    integral 1/x from epsilon to 1    integral 1/sqrt(x)
1e-01                     2.3025850930             1.3675444680
1e-02                     4.6051701860             1.8000000000
1e-04                     9.2103403720             1.9800000000
1e-08                    18.4206807440             1.9998000000
Each cutoff integral is finite; only the limit decides improper convergence.

解释线性族全域非负证明，算精确总质量、区间质量与2/3一阶矩。反常例用截断原函数公式，另证明极限。

实验3 · 衰减稳定与固定终时细化

下载 lab3_euler_decay.py

"""A stable continuous decay can have an unstable or negative Euler trace."""
import math

rate = 2.0
print("x'=-2x, x(0)=1; exact x(t)=exp(-2t)")
print("h     Euler factor    x_20          exact at t=20h     behaviour")
for h in [0.1, 0.8, 1.0, 1.1]:
    factor = 1-rate*h
    x = 1.0
    for _ in range(20):
        x += h*(-rate*x)
    behaviour = "decays" if abs(factor) < 1 else "neutral oscillation" if abs(factor) == 1 else "unstable"
    print(f"{h:3.1f} {factor:12.4f} {x:13.7f} {math.exp(-rate*20*h):18.8e} {behaviour}")
    assert abs(x-factor**20) < 1e-10
    if abs(factor) < 1:
        assert abs(x) < 1
    elif abs(factor) > 1:
        assert abs(x) > 1
print("h=0.8 first iterate:", 1-rate*0.8, "(negative despite positive continuous solution)")

print("Fixed final time T=1: n, Euler endpoint, exact endpoint, absolute error")
previous_error = float("inf")
for n in [10, 20, 40, 80]:
    h, x = 1/n, 1.0
    for _ in range(n):
        x += h*(-rate*x)
    exact = math.exp(-rate)
    error = abs(x-exact)
    print(n, f"{x:.10f}", f"{exact:.10f}", f"{error:.10f}")
    assert error < previous_error
    previous_error = error
print("Long-time stability, nonnegativity, and finite-time accuracy are separate checks.")

x'=-2x, x(0)=1; exact x(t)=exp(-2t)
h     Euler factor    x_20          exact at t=20h     behaviour
0.1       0.8000     0.0115292     1.83156389e-02 decays
0.8      -0.6000     0.0000366     1.26641655e-14 decays
1.0      -1.0000     1.0000000     4.24835426e-18 neutral oscillation
1.1      -1.2000    38.3375999     7.78113224e-20 unstable
h=0.8 first iterate: -0.6000000000000001 (negative despite positive continuous solution)
Fixed final time T=1: n, Euler endpoint, exact endpoint, absolute error
10 0.1073741824 0.1353352832 0.0279611008
20 0.1215766546 0.1353352832 0.0137586286
40 0.1285121566 0.1353352832 0.0068231267
80 0.1319378054 0.1353352832 0.0033974778
Long-time stability, nonnegativity, and finite-time accuracy are separate checks.

先分类因子，对照各轨迹自己的终时真实值，找稳定但变负的步长。第二表终时固定一，网格缩小，解释两实验不同证据。

1–12必做，13–14选做额外35分钟，不计入十小时核心。

读一手MIT OpenCourseWare微积分课程的积分、反常和微分方程选段，查NIST求积公式的余项约定。累积、换元、归一化与衰减推导为本课独立论证。

构造分割和，解释连续可积，推导两基本定理联系。带边界做换元分部，分析收敛与发散反常例，归一密度并写求积光滑条件。

结业任务：x′=−3x、初值二，精确2exp(−3t)，欧拉稳定0<h<2/3、非负0<h≤1/3。比较稳定交替步长与固定终时细化，解释它们回答不同问题。

可以继续：你能区分连续模型、累积量与有限近似。下一课多元导数将敏感性和链依赖推广到向量、矩阵与自动微分。见总览。