极限、连续性与收敛

下降的数值表能提示极限，却不能规定全部未来项；图像能遗漏很窄的特征；迭代能因人为缩小步长或浮点舍入而停止变化。数学收敛是关于整个过程尾部的量化主张，数值停止则是依据明确误差标准作出的有限决策。

本课证明数列和函数极限，构造 ε–δ 见证，按定义域假设使用连续性定理，分析无限级数，最后将严格迭代证明与残差停止规则联系起来。

检索检查：回忆模块 01的绝对值不等式、有限和与实函数定义域，以及模块 04的量词顺序、证明和反例。不假设已经学习微积分；实验仅用 Python 标准库，包括需要精确区别时的 Fraction 分数。

实数列是由正整数索引到实数的函数，记 a₁,a₂,…。a_n→L 的定义是：对每个 ε>0，存在整数 N，使每个 n≥N 都满足 |a_n−L|<ε。顺序不可交换：先接受任意精度，再选择可依赖精度的尾部阈值，最后控制所有较晚项。不要求单调、不要求恰好达到极限，也不要求同一个 N 对所有精度有效。

极限唯一。若 L、M 都是极限且距离 D=|L−M|>0，取 ε=D/3 并超过两个尾部阈值，三角不等式给 D≤|L−a_n|+|a_n−M|<2D/3，矛盾。收敛数列也必有界：尾部距离 L 小于一，有限前缀的绝对值有有限最大值，合并两个界即可。反过来不成立：(−1)^n 始终在−1与1之间，却有偶数子列恒为1、奇数子列恒为−1，不可能趋向同一极限。

有界指某个有限 B 控制所有 |a_n|。无界不等于趋向正无穷。后者要求每个实阈值 M 都最终被所有后续项超过。偶数项为 n、奇数项为零的数列无界，却既不趋向正无穷也无有限极限。负无穷对应反向不等式。发散可以振荡，也可以无界；“发散”并不自动意味着单调无限增长。

单调不减且上有界的实数列收敛。实数完备性保证每个非空上有界实数集合有最小上界，称上确界。令 L 为数列值的上确界。任意 ε>0 下，L−ε 不是上界，所以存在 a_N>L−ε；单调性保证对 n≥N 有 L−ε<a_N≤a_n≤L，得到收敛。对单调不增、下有界数列取负号即可。没有界，单调仍可无限增长；没有单调，有界仍可振荡。

有理数列可以趋向无理实数，因此“所有项都能写成有理数”不要求实数极限也是有理数。有限精度机器数又是不同的集合。将过程舍入到其中一个值是计算约定，不会改变实数极限的定义。

柯西数列要求尾部自身任意两项最终接近：每个 ε>0 下存在 N，使 i,j≥N 时 |a_i−a_j|<ε。收敛蕴含柯西，只需分别将到极限的距离控制在 ε/2。实数柯西数列也收敛：先由尾部项之间距离小于一及有限前缀证明有界。令 l_n、u_n 为从 n 开始尾部的下确界与上确界；完备性保证它们存在。l_n 单调增加、u_n 单调减少且都有界，所以都收敛。柯西条件使尾部宽度 u_n−l_n 最终不大于任意 ε，故两者极限相同。由 l_n≤a_n≤u_n 夹逼，原数列也趋向该极限。这提供后面迭代存在性证明所需事实。

f(x) 在 x→a 时的极限关注定义域内接近 a 但 x≠a 的值。定义域必须包含任意接近 a 的其他点，否则本意的去心极限条件可能空洞成立。正式定义：每个 ε>0 下存在 δ>0，使所有满足0<|x−a|<δ的定义域点都有 |f(x)−L|<ε。去心条件不检查 f(a)，所以它可未定义或取其他值；连续性还要检查实际值等于极限。

左、右极限分别限制 x<a、x>a，并使用相应侧可用的定义域点。如果两侧附近都有定义域点，则有限双侧极限存在当且仅当两侧极限存在且相同。边界点可以有定义域相对的单侧极限，不需要虚构域外值。应明确自己讨论实线双侧主张还是相对定义域的主张。

阈值 H(x) 在 x<0 时为零、x≥0 时为一，零处左极限为零、右极限为一，双侧极限不存在。修改 H(0) 不能修复跳跃。1/x 在零处左趋负无穷、右趋正无穷，没有共同有限或同号无穷双侧极限。无穷极限意味着每个幅度阈值最终按指定方向被超过，不代表把无穷当普通实数函数值返回。

无穷远极限关注大输入：x→+∞ 时 f(x)→L，是每个 ε>0 下存在 M，使所有定义域内 x>M 满足 |f(x)−L|<ε。对1/x，选 M>1/ε 可证明趋零。与数列论证相似，却覆盖所有足够大输入，不只正整数。在整数上的采样趋势不能规定整数之间的行为。

极限代数要求各组成极限存在于共享邻近定义域。若 f→L、g→M，则和趋 L+M、积趋 LM。和的证明给两项各分配 ε/2。积写成 fg−LM=f(g−M)+M(f−L)；先限制 |f−L|<1 得 |f|≤|L|+1，再将两个误差压小以控制两项。这个局部界处理了 f 仍随输入变化的问题。差和固定标量倍数类似。

商规则要求 M≠0，并缩小邻域保证 g 非零。|g−M|<|M|/2 给出 |g|>|M|/2，于是 |1/g−1/M|=|g−M|/(|g||M|) 可被控制，再使用乘积规则。分母极限为零不是允许直接相除；0/0 形式需要进一步分析，不同函数能产生不同结果。

夹逼原理来自不等式：若上下函数都趋 L 并最终夹住 f，它们的 ε 界也夹住 f。数列同理。例如任意选择的有界正弦因子满足 |sin x|/n≤1/n；振荡幅度收缩就能证明趋零，无需追踪相位。

若两个趋 a 的定义域数列产生不同函数值极限，即可否定函数极限；有效函数极限会强迫所有这种数列进入同一 ε 带。逆向判据也成立：若 ε–δ 条件失败，可对每个 n 选择距离 a 小于1/n的违反点，构造反例数列。这准确联系数列与函数极限；检验少数接近路径仍不能证明全称主张。

ε 是请求的输出精度，δ 是足够的输入邻域。接受任意正 ε，选择可依赖它与固定常数的 δ，再证明每个合格 x 都满足结论。δ 不能依赖后面挑选的有利 x。对某一精度给一个 δ 只证明该条件；极限需要对所有正精度的规则。

对 x²→4，|x²−4|=|x−2||x+2|。先要求 |x−2|<1，将 x 限在一与三之间，得到 |x+2|<5，再选 δ=min(1,ε/5)。每个合格点的输出误差小于5δ≤ε。取最小值同时保留局部因子界和精度条件。直接猜 δ=ε 却不控制另一个因子，并不是完整证明。

量词顺序也解释为何跳跃不能靠仅缩小一侧窗口修复。对零处阈值取 ε=1/3。零与一不可能同时距某 L 小于1/3，否则二者距离一会小于2/3。每个 δ 邻域都有负、正点，所以至少有一个违反。否定结构是先给一种精度，再对每个邻域找坏点。

仅修改 f(a) 不改变去心条件覆盖的点，因此可以保留极限；修改任意接近 a 的邻近点则可能改变或破坏极限。证明需标明全称蕴含覆盖的输入，尤其是正实域或趋近边界的离散域。

在 a≠0 附近，要求 |x−a|<|a|/2，则 |x|>|a|/2，进而 |1/x−1/a|<2|x−a|/|a|²。选 δ=min(|a|/2,ε|a|²/2) 证明倒数极限。“先限制麻烦因子，再分配误差预算”的结构会继续用于连续、导数与数值误差。

交互图只能显示有限点，不能代替全邻域证明。线性、平方情形显示控制整个窗口的代数界。充分界可保守，超过它不自动证明极限不存在，甚至不自动证明当前窗口失败；失败需要具体见证或另一个精确最大值分析。先区分充分与必要条件，再解释数值状态。

在定义域点 a 连续，指每个 ε>0 下存在 δ>0，使所有满足 |x−a|<δ 的定义域点都有 |f(x)−f(a)|<ε，包括 a 自身。在聚点上等价于去心极限存在且等于实际值；在孤立域点上选不含其他点的邻域即自动连续，但不会制造有意义的去心极限。区间端点的连续性相对于可用单侧域。

复合连续需要兼容定义域。设 f 在 a 连续、f(a)=b，g 在 b 连续，f 将相关邻域映入 g 的定义域。任给输出 ε，g 的连续性给 b 附近容差 η>0；f 的连续性给 δ，保证 |x−a|<δ 时 |f(x)−b|<η，再应用 g 条件得到 |g(f(x))−g(b)|<ε。这里允许 f(x)=b。如果只知道 g 的去心极限、却在 b 赋另一个值，内函数恰取 b 时该论证会失效。定义域与实际点值都不可省略。

极限代数说明连续函数的和、积仍连续，商在分母非零处连续。多项式因此在全实线连续，有理函数在其定义域连续。分段定义需要单独检查连接处，不能因每个开片段公式连续就认为整体连续。可去值错配、跳跃、无界奇点、有界振荡是不同失败机制。

介值定理：若 f 在闭实区间[a,b]连续，f(a)与f(b)之间的每个值都会在区间某点取得。求根时，连续加异号端点足够。可用二分证明：端点或中点若为根即结束，否则保留仍有异号端点的半区间。嵌套闭区间长度为(b−a)/2ⁿ趋零；左端递增、右端递减，由完备性趋共同 c，且 c 留在每个区间。连续性使两端函数值都趋 f(c)，它们分别位于零两侧，故 f(c)=0。证明存在，未证明唯一；可能多次过零。

不能省连续性：h(x)−1/2 在零两侧变号，却只取−1/2、1/2，没有根。讨论取得最值还需要端点条件：f(x)=x 在(0,1)逼近上下界却都不取得。最值定理说非空闭有界实区间上的连续实函数取得最大、最小值，比仅有界更强。1/x 在(0,1]相对连续却无界，因为可接近被排除的零端点。

最值定理的机制如下。闭有界区间内每个数列有收敛子列且极限仍在区间：重复二分，保留含无穷多项的半区间，再按递增索引从嵌套区间选项。如果连续 f 无界，可选 |f(x_n)|>n；收敛子列及连续性却迫使输出趋有限 f(c)，矛盾。有界后令 M 为输出上确界，选 f(x_n)>M−1/n；收敛子列趋 c，则 f(c)=M。对−f做同样论证得最小值。选择过程容许有限早期例外；递增索引仍使误差趋零。

在有限维实空间逐坐标选子列，同样得到闭有界集合的紧致性论证。因此模块13单位球面上的连续二次能量确实取得最大值：闭性使极限仍在球面，有界性提供子列，连续性传递输出。无穷维空间不能直接照搬，因为这里依赖有限坐标数。

下一课定义的导数是差商的有限极限。差商趋 D 就在附近有界，f(a+h)−f(a)=h乘差商趋零，因此可导必连续。逆命题失败：|x|在零连续，左右差商却为−1与一。AI绝对误差、最大值和阈值决策需要明确所用论证究竟要求哪种正则性。

Σa_k 通过有限部分和定义，并非让计算机循环“加无穷次”。从 k=0 开始，S_N=Σ_{k=0}^{N−1}a_k，N表示项数。S_N→S 时级数收敛到 S。项数列与部分和数列不同。若部分和收敛，则差 a_N=S_{N+1}−S_N→0；所以项趋零必要，但调和级数证明它不充分。判别法需控制部分和，不能只观察近期项很小。

对 a_k=Cq^k、q≠1，将有限和乘 q 再相减，得 S_N=C(1−q^N)/(1−q)。|q|<1 时 q^N→0，和为 C/(1−q)。遗漏尾项为 Cq^N/(1−q)，绝对值≤|C||q|^N/(1−|q|)。负 q 时精确分母|1−q|可更紧，所示界统一覆盖两种符号。若 C≠0、|q|≥1，项不趋零，级数发散；C=0是例外，无论 q 如何所有项都为零。保留边界条件，避免将模式错误地推广为全称断言。

调和项1/n趋零，但从 n=2^{j−1}+1 到2^j的块有2^{j−1}项，每项≥1/2^j，每块贡献≥1/2。任意多完整块后的部分和至少增长块数的一半，因而无界，不会收敛到有限数。证明给任意远部分和的下界；有限截图不能替代该量词。

非负项的部分和递增，模块本课第1节的单调收敛结论说明其收敛当且仅当上有界。因此得到比较判别：若最终0≤a_n≤b_n且Σb_n收敛，则Σa_n收敛；有限前缀只增加有限常数。反向用非负发散级数作为下界可证明发散。n≥2时1/n²≤1/[n(n−1)]=1/(n−1)−1/n；比较部分和望远镜消去得1−1/N<1。加第一项后Σ1/n²上界为二，证明收敛，无需计算精确和。

绝对收敛指Σ|a_n|收敛，它蕴含Σa_n收敛。写 a_n=p_n−m_n，其中 p_n=max(a_n,0)、m_n=max(−a_n,0)。二者非负部分和均受绝对和界控制，故各自单调有界收敛；再取极限之差即可。逆向不成立，可选做证明交替调和级数。有限项重排无碍，条件收敛无限级数的重排需要另一个定理，不能从有限加法交换律未经证明地交换无限极限。

比值判别也是比较论证。设项最终非零，|a_{n+1}/a_n|→L。若 L<1，选 L<q<1；某 N 后比值≤q，归纳得 |a_{N+j}|≤|a_N|q^j，由几何比较得绝对收敛。若 L>1，选介于一与 L 的增长因子，最终幅度增长而不能趋零。L=1没有结论：1/n与1/n²比值都趋一，级数却不同。若无穷多项为零，除法比值可能无定义，应换界或分析非零模式，不能忽略定义域。

计算时，已证明的尾界给有限近似到数学无限和的误差证书，浮点累加另有算术误差。适当模型下总误差≤截断误差加算术误差。下一项很小只有在定理将其与全部余项联系时才是停止证书；正几何比值可通过1/(1−q)联系，调和项则不能，因为余和无界。停止规则必须适配实际级数结构。

迭代生成 x_{k+1}=F(x_k)。数列是否收敛与极限是否解目标问题是两件事。若 F 连续且 x_k→x，可在递推式取极限得 x=F(x*)。没有连续性该过程需另证，没有收敛递推式本身不提供解。有不动点也不保证选定起点趋向它：恒等映射每点固定；F(x)=2x虽有零不动点，任何非零初值都会离开。

若集合内所有 x,y 满足 |F(x)−F(y)|≤q|x−y|，其中0≤q<1，则 F是压缩映射。设 F将非空闭区间映入自身且满足此界。相邻差≤q^k|x_1−x_0|；m>n时三角不等式及几何有限和给 |x_m−x_n|≤q^n|x_1−x_0|/(1−q)。迭代为柯西数列，实数完备性给极限，闭性使它留在区间。压缩不等式蕴含连续，所以极限是不动点。两个不动点的距离若≤q倍自身只能为零，故唯一。这同时证明存在、收敛和唯一；无界闭区间也可，因为柯西界提供所需有界性。

知道不动点存在及合法 q 后，无需知道 x* 即可由原映射残差 r=|F(x)−x|给误差界。三角不等式得 |x−x*|≤r+q|x−x*|，故 |x−x*|≤r/(1−q)。计算的舍入残差还要加算术误差裕量才成为严格数值证书。由少量采样估计 q 也不是统一定理。需写清界适用位置、迭代是否始终留在该域、数值残差如何取得。

考虑 F(x)=x+.1(100−x)，q=.9、不动点100。将更新改为 x_new=x+α(F(x)−x)，α=10⁻¹⁰。在 x=0时应用步长10⁻⁹，小于10⁻⁶容差，误差却近100。原残差近十，除以1−.9的证书也近100。松弛缩放步长，改变了步长阈值含义；即使松弛映射仍压缩，其因子1−.1α令残差到误差的乘数极大。这解释失败，并不违反定理。

绝对相对容差可用作工程策略：比较差异与 atol+rtol·scale，其中尺度明确、有限非负。它表示接受近似，不是精确相等。近零绝对项主导，换单位需要调整绝对尺度。按问题检查原方程残差、迭代移动、可行性及可用误差界。最大迭代数能结束尝试，不能认证收敛；应报告触发了哪一种条件。

有限采样不证明无穷尾部性质。实验1的三个数列前100项相同，长期行为不同。实验3在10,001个等距点采样连续窄峰，所有采样高度零，中心高度却一。这反驳该网格的推断，而非连续性。没有控制未采样区域的正则界，图像不能认证一致误差；已知 Lipschitz 常数加网格间距可提供控制，但得到常数需要额外证据。

浮点运算还会出现停滞：在10¹⁶附近二进制64位可能满足 x+1==x，因为增量被舍掉。实数递推 x_{k+1}=x_k+1仍发散，存储值不变不证明实数收敛。检查实际可表示输入，不只打印位数；可去奇点附近名义增量可能舍为零而落入不同定义域情况。精确变换、误差界与有限观察各有作用，不能在AI训练或数值算法主张中无声互相替代。

实验1 · 样本、精确和与不同尾部

下载 lab1_sequences_and_series.py

"""Finite samples suggest behaviour; exact formulas supply the arguments."""
from fractions import Fraction

for n in [1, 2, 10, 100]:
    print("n / 1/n / alternating / geometric:", n, str(Fraction(1, n)), (-1)**n, format(0.5**n, ".6e"))
for terms in [1, 2, 4, 10]:
    partial = sum((Fraction(1, 2)**k for k in range(terms)), Fraction(0))
    remainder = 2*Fraction(1, 2)**terms
    assert partial == 2-remainder
    print("Geometric terms / partial / exact tail:", terms, str(partial), str(remainder))

prefix_end = 100
def candidate_zero(n):
    return Fraction(1, n)
def candidate_two(n):
    return Fraction(1, n) if n <= prefix_end else Fraction(2)
def candidate_oscillation(n):
    return Fraction(1, n) if n <= prefix_end else Fraction((-1)**n)
assert all(candidate_zero(n) == candidate_two(n) == candidate_oscillation(n) for n in range(1, 101))
print("Three sequences share their first 100 terms.")
for n in [100, 101, 102]:
    print("n / true-zero / delayed-two / delayed-oscillation:", n, str(candidate_zero(n)), str(candidate_two(n)), str(candidate_oscillation(n)))
print("The shared finite prefix cannot establish a common infinite-time limit.")

n / 1/n / alternating / geometric: 1 1 -1 5.000000e-01
n / 1/n / alternating / geometric: 2 1/2 1 2.500000e-01
n / 1/n / alternating / geometric: 10 1/10 1 9.765625e-04
n / 1/n / alternating / geometric: 100 1/100 1 7.888609e-31
Geometric terms / partial / exact tail: 1 1 1
Geometric terms / partial / exact tail: 2 3/2 1/2
Geometric terms / partial / exact tail: 4 15/8 1/8
Geometric terms / partial / exact tail: 10 1023/512 1/512
Three sequences share their first 100 terms.
n / true-zero / delayed-two / delayed-oscillation: 100 1/100 1/100 1/100
n / true-zero / delayed-two / delayed-oscillation: 101 1/101 2 -1
n / true-zero / delayed-two / delayed-oscillation: 102 1/102 2 1
The shared finite prefix cannot establish a common infinite-time limit.

标准库 Python 即可。区分精确几何分数验证的有限计算与公式证明的无限极限；找前缀相同数列第一次不同的位置。先依据定义预测长期行为再运行，不从共同前缀推断极限。

实验2 · 两侧与实际浮点输入

下载 lab2_two_sided_limits.py

"""Actual floating inputs matter when sampling a removable singularity."""
def punctured(x):
    if x == 1:
        raise ValueError("Original quotient is undefined at x=1")
    return (x*x-1)/(x-1)

for exponent in [1, 4, 8, 12, 16]:
    nominal = 10.0**(-exponent)
    for sign in [-1, 1]:
        x = 1+sign*nominal
        try:
            direct = format(punctured(x), ".12g")
        except ValueError:
            direct = "undefined: floating input equals 1"
        print("Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension:", format(sign*nominal, ".1e"), format(x-1, ".6e"), direct, format(x+1, ".12g"))
print("Symbolic factorisation gives x+1 only for the punctured original domain; its limit is 2.")

for h in [0.1, 0.001, 0.000001]:
    left_threshold, right_threshold = 0, 1
    print("h / threshold left-right / reciprocal left-right:", h, (left_threshold, right_threshold), (-1/h, 1/h))
print("Threshold has unequal finite one-sided limits; reciprocal has opposite unbounded one-sided behaviour.")

Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: -1.0e-01 -1.000000e-01 1.9 1.9
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: 1.0e-01 1.000000e-01 2.1 2.1
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: -1.0e-04 -1.000000e-04 1.9999 1.9999
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: 1.0e-04 1.000000e-04 2.0001 2.0001
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: -1.0e-08 -1.000000e-08 1.9999999889 1.99999999
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: 1.0e-08 1.000000e-08 2 2.00000001
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: -1.0e-12 -9.999779e-13 2 2
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: 1.0e-12 1.000089e-12 2 2
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: -1.0e-16 -1.110223e-16 2 2
Nominal h / actual x-1 / quotient / continuous extension: 1.0e-16 0.000000e+00 undefined: floating input equals 1 2
Symbolic factorisation gives x+1 only for the punctured original domain; its limit is 2.
h / threshold left-right / reciprocal left-right: 0.1 (0, 1) (-10.0, 10.0)
h / threshold left-right / reciprocal left-right: 0.001 (0, 1) (-1000.0, 1000.0)
h / threshold left-right / reciprocal left-right: 1e-06 (0, 1) (-1000000.0, 1000000.0)
Threshold has unequal finite one-sided limits; reciprocal has opposite unbounded one-sided behaviour.

记录名义与实际存储偏移。解释因式分解为何在去心域一致，而在一求延拓值改变定义域约定。比较阈值、倒数两侧样本并关联单侧证明；样本用于说明，不代替全称论证。

实验3 · 遗漏峰与假停止

下载 lab3_false_convergence.py

"""A small update, missed narrow feature, or rounded fixed value is not a proof."""
center, width = 0.123456789, 1e-6
def bump(x):
    return max(0.0, 1-abs(x-center)/width)
grid = [i/10000 for i in range(10001)]
sample_max = max(map(bump, grid))
assert sample_max == 0 and bump(center) == 1
print("Grid maximum / actual centre value:", sample_max, bump(center))

# F(x)=x+0.1(100-x) has fixed point 100, but an artificially tiny relaxation
# makes the update test pass far from that fixed point.
def F(x):
    return x+0.1*(100-x)
step_size, tolerance, x = 1e-10, 1e-6, 0.0
next_x = x+step_size*(F(x)-x)
update = abs(next_x-x)
residual = abs(F(next_x)-next_x)
error = abs(next_x-100)
print("Relaxed update / stopping tolerance:", update, tolerance)
print("Naive update-only stops:", update < tolerance)
print("Actual fixed-point residual / error:", residual, error)
assert update < tolerance and residual > 9 and error > 99

q = 0.9
certified_bound = residual/(1-q)
print("Contraction residual bound for original F:", certified_bound)
assert abs(error-certified_bound) < 1e-10
floating = 1e16
rounded_next = floating+1.0
print("Floating stagnation / real intended increment:", rounded_next == floating, 1)
assert rounded_next == floating
print("Check the original problem residual and the theorem assumptions; finite equality can be rounding.")

Grid maximum / actual centre value: 0.0 1.0
Relaxed update / stopping tolerance: 1e-09 1e-06
Naive update-only stops: True
Actual fixed-point residual / error: 9.9999999999 99.999999999
Contraction residual bound for original F: 99.99999999900002
Floating stagnation / real intended increment: True 1
Check the original problem residual and the theorem assumptions; finite equality can be rounding.

由公式直接找未采样峰。比较松弛步长、原残差、已知误差和压缩证书；换较大的松弛参数再解释变化。最后按实数与表示值的区别解释停滞相等式。

前十二道必做，13–14为选做，额外35分钟不计入八小时核心安排。

使用一手MIT OpenCourseWare 单变量微积分课程的极限、连续和无限过程材料。Python3.11官方浮点教程解释实验的表示与舍入现象。本课量化证明、反例和停止分析为独立推导。

不看笔记写数列、函数极限量词，证明非线性极限，给有界发散和项趋零但级数发散例。写介值与最值假设，推导几何尾部及压缩残差界。

结业任务：F(x)=.8x+1不动点五，从零开始误差5(.8)^k；原残差为.2|x−5|。指定严格误差容差并选足够步数，再解释把更新乘10⁻¹⁰为何使原更新阈值精度解释失效。

可以进入下一课：你能区分存在性、量化收敛、近似容差与存储停滞。下一模块用极限构造导数，并检查目标函数的连续边界。可用性见课程总览。