模块 02: 信息表示

位只有 0、1 两种值。八位字节有 256 种模式，含义取决于约定：同一个字节可以是整数、字符的一部分或指令。二进制从右向左的权重为 1、2、4、8 等，因此 1101 表示 8+4+1=13。十六进制权重为 1、16、256，A–F 表示 10–15，每个十六进制数字对应四位。0x2D 即 0010 1101，十进制为 45。

对非负整数反复除以 2，记录余数，再倒序读取即可编码。前导零改变位宽，不改变无符号值。

w 位有 2^w 种模式。无符号整数范围为 0 到 2^w−1，八位可表示 0–255。255 加一需要九位。固定宽度系统必须规定越界行为：拒绝、回绕、饱和或报错。这些行为不同，不能随意替换。本例转换器拒绝超范围值。

Python 整数按需增长，受内存限制，因此 255+1 本身不会在八位回绕。若要明确模拟八位回绕，可用 (value+1)%256。即使语言整数不固定宽度，存储格式与硬件接口仍可能限制位宽。

补码把最高位权重设为 −2^(w−1)，其余位保持正权重。八位 11111111 为 −128+127=−1；10000000 为 −128，范围是 −128 到 127，而非 −127 到 127。把位模式先看成无符号 u，最高位为 1 时减去 256。

多字节值还需要字节序。0x1234 的大端存储先放 12 再放 34，小端则先 34 再 12。字节序与有无符号是不同选择，交换数据时要同时规定宽度、符号性和字节序。

Unicode 为文字符号分配码位，UTF-8 把码位编码为字节。ASCII 字符占一个 UTF-8 字节，其他许多码位占多个。A中 有两个码位，但占四个 UTF-8 字节。Python str 表示文字，bytes 表示字节序列；进入字节接口时编码，读取时按约定编码解码。

一个可见字符可能由多个码位组成，例如字母加组合重音，因此码位数量不一定等于可见字符数量。任意截断字节可能切开多字节序列，导致解码失败。编码约定是数据格式的一部分。

浮点格式保存符号、缩放后的有效数字和指数。有限二进制小数的分母是二的幂。0.1=1/10 的二进制展开重复，有限存储只能舍入。常见 Python 平台上 0.1+0.2 略不同于 0.3，这是表示问题，并非加法任意失效。

近似测量需要按问题选择容差，尤其在零附近结合相对与绝对容差。精确金额可用最小货币单位的整数，或从字符串构造 Decimal。Decimal 也有有限精度上下文，并非每次除法都精确；Fractions 可精确保留有理数，但分子分母可能增长。

下载脚本，在终端中使用 Python 3.11 或更新版本运行：python m02_binary.py. Windows 也可使用 py -3；部分系统使用 python3。实验仅用标准库。先预测结果，再运行并完成变体。不要使用 -O，以保留断言。下方输出由构建器实际运行捕获，两种语言使用相同代码与输出。

跟踪循环中的余数。脚本检查往返转换，并明确拒绝溢出。

下载 m02_binary.py

"""Base conversion and fixed-width signed interpretation."""
def binary(value, width=8):
    if not 0 <= value < 2 ** width:
        raise ValueError("value does not fit unsigned width")
    bits = []
    for _ in range(width):
        bits.append(str(value % 2))
        value //= 2
    return "".join(reversed(bits))

for value in [0, 13, 127, 128, 255]:
    bits = binary(value)
    signed = value if value < 128 else value - 256
    assert int(bits, 2) == value
    print(f"{bits}: unsigned={value:3}, signed={signed:4}, hex={value:02x}")
try:
    binary(256)
except ValueError:
    print("256 rejected at width 8")
else:
    raise AssertionError("overflow must be rejected")

00000000: unsigned=  0, signed=   0, hex=00
00001101: unsigned= 13, signed=  13, hex=0d
01111111: unsigned=127, signed= 127, hex=7f
10000000: unsigned=128, signed=-128, hex=80
11111111: unsigned=255, signed=  -1, hex=ff
256 rejected at width 8

1. 预测 42 的输出。
2. 使用四位，测试 15 和 16。
3. 解释为何有符号解释在 128 改变。

运行文字往返转换，比较 float 与 Decimal。截断案例明确验证解码错误。

下载 m02_text_float.py

"""Separate text from bytes, and approximate numbers from decimal arithmetic."""
from decimal import Decimal
from math import isclose

text = "A中"
encoded = text.encode("utf-8")
print("code points:", len(text), "bytes:", len(encoded), "hex:", encoded.hex())
assert encoded.decode("utf-8") == text
print("float:", 0.1 + 0.2, "exact equality:", 0.1 + 0.2 == 0.3)
assert isclose(0.1 + 0.2, 0.3, rel_tol=1e-12, abs_tol=1e-12)
exact = Decimal("0.1") + Decimal("0.2")
print("decimal:", exact)
assert exact == Decimal("0.3")
try:
    encoded[:2].decode("utf-8")
except UnicodeDecodeError:
    print("truncated UTF-8 rejected")

code points: 2 bytes: 4 hex: 41e4b8ad
float: 0.30000000000000004 exact equality: False
decimal: 0.3
truncated UTF-8 rejected

1. 把文字改为 ASCII 的 ABC。
2. 尝试把原文字编码为 ASCII。
3. 比较 Decimal('0.1') 与 Decimal(0.1)，解释差异。

先尝试，再展开解答。★ 应用概念；★★ 结合概念；★★★ 进行设计或证明。

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• Python 浮点教程 — 阅读表示误差说明，解释何时适合用容差。
• Python Unicode 指南 — 阅读编码与解码错误，区分 str 和 bytes。

编码 29，解释一个八位负数，并说明 A中 为什么需要四个 UTF-8 字节。为目录中的数量与价格选择表示。模块 03 将使用这些值构建程序。